评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为：\(k(1,1,-1,-1)^T + (2,1,-1,3)\)。我们需要验证这个解是否正确。

已知条件：矩阵 \(A = (a_1, a_2, a_3, a_4)\)，其中 \(a_1, a_2, a_3\) 线性无关，且 \(a_1 + a_2 = a_3 + a_4\)。方程组为 \(Ax = a_1 + 4a_4\)。

首先，由 \(a_1 + a_2 = a_3 + a_4\) 可得 \(a_1 + a_2 - a_3 - a_4 = 0\)，即 \(A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} = 0\)，所以 \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\) 是齐次方程 \(Ax=0\) 的一个解。由于 \(a_1,a_2,a_3\) 线性无关，且 \(a_4\) 可由它们线性表示（由 \(a_4 = a_1 + a_2 - a_3\)），所以齐次方程的基础解系含一个线性无关解向量，即通解形式应为 \(x = k \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} + x_p\)，其中 \(x_p\) 是一个特解。

现在找特解：设 \(x = (x_1,x_2,x_3,x_4)^T\) 满足 \(Ax = a_1 + 4a_4\)。由 \(a_4 = a_1 + a_2 - a_3\)，得 \(a_1 + 4a_4 = a_1 + 4(a_1 + a_2 - a_3) = 5a_1 + 4a_2 - 4a_3\)。

所以方程变为：\(x_1 a_1 + x_2 a_2 + x_3 a_3 + x_4 a_4 = 5a_1 + 4a_2 - 4a_3\)。

将 \(a_4 = a_1 + a_2 - a_3\) 代入左边：

左边 = \(x_1 a_1 + x_2 a_2 + x_3 a_3 + x_4 (a_1 + a_2 - a_3) = (x_1 + x_4) a_1 + (x_2 + x_4) a_2 + (x_3 - x_4) a_3\)。

右边 = \(...