评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

学生正确推导出函数列的表达式 \( f_n(x) = \frac{x}{1+nx} \)，并正确写出面积表达式 \( S_n = \int_0^1 f_n(x) \, dx \)。积分计算过程正确，得到 \( S_n = \frac{1}{n} \left[1 - \frac{1}{n} \ln(1+n)\right] \)。但在最后一步计算极限时，学生写的是 \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} S_n \)，而题目要求的是 \( \lim_{n \to \infty} n S_n \)。学生实际上计算的是 \( \frac{1}{n} S_n \) 的极限，而不是 \( n S_n \) 的极限，这是一个逻辑错误。不过从学生的计算过程可以看出，他得到了 \( S_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2} \ln(1+n) \)，如果乘以 n 就是 \( n S_n = 1 - \frac{1}{n} \ln(1+n) \)，极限为 1。虽然学生最后写的是 \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} S_n \)，但从上下文看可能是笔误，因为前面的计算都是正确的。考虑到核心思路和计算过程正确，只是最后极限表达式写反了，扣 1 分。

得分：10分

题目总分：10分