评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答整体思路正确，过程完整，最终答案与标准答案一致。但在推导过程中存在一处逻辑错误：在将拉普拉斯方程代入后，学生得到 \(\varphi^{\prime\prime}(x^{2}+y^{2})=-2\varphi^{\prime}xy\)，这一步的推导有误。正确的推导应为 \(\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=\varphi^{\prime\prime}\cdot(\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{4}})+\varphi^{\prime}\frac{2y}{x^{3}} = 0\)，两边乘以 \(x^4\) 后得到 \((x^2+y^2)\varphi'' + 2xy\varphi' = 0\)，即 \((1+t^2)\varphi'' + 2t\varphi' = 0\)。学生错误地写成了 \(\varphi^{\prime\prime}(x^{2}+y^{2})=-2\varphi^{\prime}xy\)，缺少了分母 \(x^4\) 的处理，但后续代入 \(t = y/x\) 后得到了正确的微分方程形式，因此错误未影响最终结果。由于存在逻辑错误，扣1分。

此外，学生在求解微分方程时写的是 \(\ln\frac{1}{p}=\ln(1 + t^{2})+C_{1}\)，这实际上是 \(\ln p = -\ln(1+t^2) - C_1\) 的变形，虽然写法与标准答案不同，但思路正确，且最终得到 \(p = \frac{2}{1+t^2}\)，计算正确，因此不扣分。

最终利用初始条件求出常数，答案正确。

得分：11分（满分12分，逻辑错误扣1分）

题目总分：11分