评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 \( e^{\frac{x^2}{2} - \ln x + C} \)，其中 \( C \) 为任意常数。这个表达式可以化简为 \( e^{\frac{x^2}{2}} \cdot e^{-\ln x} \cdot e^{C} = \frac{e^{\frac{x^2}{2}}}{x} \cdot e^{C} \)。

然而，根据原方程 \( tf(t) = 1 + \int_{0}^{t} s^2 f(s) ds \)，当 \( t = 0 \) 时，左边为 \( 0 \cdot f(0) = 0 \)，右边为 \( 1 + 0 = 1 \)，出现矛盾。这表明原方程在 \( t = 0 \) 处可能存在问题，但通常这类题目会隐含 \( f(x) \) 在 \( x \neq 0 \) 处定义，且通过求解过程可以确定常数 \( C \)。

标准答案是 \( \frac{e^{\frac{x^2}{2}}}{x} \)，相当于学生答案中 \( e^{C} = 1 \)，即 \( C = 0 \)。学生没有确定常数 \( C \) 的值，保留了任意常数，这是不正确的，因为原方程可以唯一确定 \( f(x) \)。因此，学生的答案不完整，存在逻辑错误。

根据打分要求，有逻辑错误不能给满分，且本题为填空题，必须与标准答案完全一致。因此，本题得分为 0 分。

题目总分：0分