评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 $-1/\pi$，而标准答案是 $-\frac{1}{\pi}$，两者在数学上是完全等价的。该题要求计算 $\lim\limits_{n \to \infty}n^{2}\ln(1 + a_{2n})$，其中 $a_{2n}$ 是函数 $f(x) = \sin x$ 在区间 $[0,\pi]$ 上展开为余弦级数的傅里叶系数。正确的解题思路应该是：首先计算傅里叶系数 $a_n$，然后分析 $a_{2n}$ 在 $n \to \infty$ 时的渐近行为，最后计算极限。学生直接给出了正确的结果，表明其可能正确执行了这些步骤或记住了答案。由于答案完全正确，且题目为填空题，根据评分规则（正确则给5分），应给予满分。

题目总分：5分