评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是"a>-1且a≠1"，即(-1,1)∪(1,+∞)。这与标准答案$(-1,1) \cup (1, +\infty)$完全一致。

从解题思路来看，这道题需要利用柯西-施瓦茨不等式或二次型正定性来求解。不等式$\boldsymbol{\alpha}^{T}\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{\alpha} \geq \frac{(\boldsymbol{\beta}^{T}\boldsymbol{\alpha})^{2}}{\boldsymbol{\beta}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{\beta}}$对任意$\boldsymbol{\alpha}$成立，等价于$\boldsymbol{A}^{-1} - \frac{\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^T}{\boldsymbol{\beta}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{\beta}}$是半正定矩阵。

计算可得$\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}a & -1 \\ -1 & a\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{\beta} = \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{\beta}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{\beta} = 2(a-1)$，$\boldsymbol{A}^{-1} = \frac{1}{a^2-1}\begin{pmatrix}a & 1 \\ 1 & a\end{pmatrix}$。

要使不等式对所有$\boldsymbol{\alpha}$成立，需要$\boldsymbol{A}^{-1} - \frac{\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^T}{\boldsymbol{\beta}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{\beta}} \succeq 0$，即该矩阵半正定。通过计算特征值或主子式，可以得到$a > -1$且$a \neq 1$的条件。

学生答案正确表达了这一范围，没有...