评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答中，计算 \(V_1\) 的方法与标准答案一致，使用了圆盘法绕 x 轴旋转的体积公式，计算过程正确，因此该部分不扣分。

计算 \(V_2\) 时，学生采用了柱壳法以外的另一种方法（绕 y 轴旋转时用圆盘法减去一个区域），思路正确，但表达和计算过程中存在一些细节问题。具体来说：

• 在 \(V_2\) 的表达式中，第一项 \(A\pi\cdot(\frac{\pi}{2})^2\) 应为 \(\pi \cdot (\frac{\pi}{2})^2 \cdot A\)，但学生写成了 \(A\frac{\pi^3}{4}\)，这里系数顺序有误，但数值上等价于 \(\frac{\pi^3 A}{4}\)，不影响后续计算，不视为逻辑错误。
• 在积分换元部分，学生将 \(\int_0^A (\arcsin\frac{y}{A})^2 dy\) 换为 \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cdot A\cos x dx\)，这一步换元正确（令 \(y = A\sin x\)，则 \(dy = A\cos x dx\)），因此不扣分。
• 在后续计算中，学生将 \(V_1 = V_2\) 转化为积分等式，并进行了分部积分，虽然书写上有一些不规范（如积分符号遗漏、括号使用不当），但核心逻辑正确，最终得到正确结果 \(A = \frac{8}{\pi}\)。

由于整体思路正确，计算过程虽有瑕疵但未影响最终结果，且最终答案正确，因此扣1分（主要因表达和步骤书写不够严谨），得9分。

题目总分：9分