评分及理由

（1）求解函数表达式（满分5分）

学生首先对 \(f_{xy}''(x,y)=2(y+1)e^x\) 关于 y 积分，得到 \(f_x'(x,y) = (y^2+2y)e^x + g(x)\)，这与标准答案思路一致。然后利用条件 \(f_x'(x,0)=(x+1)e^x\) 确定 \(g(x) = (x+1)e^x\)，从而得到 \(f_x'(x,y) = (y^2+2y)e^x + (x+1)e^x\)。接着对 x 积分，得到 \(f(x,y) = (y^2+2y)e^x + xe^x + h(y)\)，最后利用 \(f(0,y)=y^2+2y\) 确定 \(h(y)=0\)，得到 \(f(x,y) = (y^2+2y)e^x + xe^x\)。整个过程逻辑正确，计算无误，得5分。

（2）求解驻点（满分2分）

学生正确计算偏导数 \(f_x'(x,y) = (y^2+2y)e^x + (x+1)e^x\) 和 \(f_y'(x,y) = (2y+2)e^x\)，并令它们为零，解得驻点 \((0,-1)\)。计算正确，得2分。

（3）判断极值（满分3分）

学生计算二阶偏导数 \(A = f_{xx}''(x,y) = (1+x+1)e^x + (y^2+2y)e^x\)，\(B = f_{xy}''(x,y) = (2y+2)e^x\)，\(C = f_{yy}''(x,y) = 2e^x\)。在点 \((0,-1)\) 处，代入得 \(A=1\)，\(B=0\)，\(C=2\)，计算 \(AC-B^2=2>0\) 且 \(A>0\)，判断为极小值，并计算 \(f(0,-1)=-1\)。虽然表达式 \(A\) 的写法略有不同（标准答案为 \((y^2+2y)e^x+2e^x+xe^x\)，学生写为 \((1+x+1)e^x+(y^2+2y)e^x\)，但实质相同），计算过程和结论正确，得3分。

题目总分：5+2+3=10分