评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分5分）

学生正确计算了梯度分量：\(\frac{\partial z}{\partial x} = 6a\)，\(\frac{\partial z}{\partial y} = 8b\)。根据方向导数最大条件，正确建立了方程组： \[ \begin{cases} (6a)^2 + (8b)^2 = 100 \\ \frac{6a}{-3} = \frac{8b}{-4} \end{cases} \] 并解得 \(a = b = -1\)。思路和计算完全正确。但第一次识别中函数写为 \(z = ax^2 + by^2\)（漏了常数2），第二次识别中已修正为正确形式。根据"误写不扣分"原则，不扣分。
得分：5分

（Ⅱ）得分及理由（满分5分）

学生正确写出曲面积分公式： \[ S = \iint_D \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}dxdy = \iint_D \sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2}dxdy \] 正确确定积分区域 \(D: x^2 + y^2 \leq 2\)，并正确使用极坐标变换。计算过程： \[ \int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\sqrt{2}} r\sqrt{1 + 4r^2}dr = \frac{13\pi}{3} \] 结果正确。第一次识别中曲面表达式有误写（\(z = \frac{z}{z = x^2 + by^2}\)），但第二次识别已修正，且计算过程正确。根据"误写不扣分"原则，不扣分。
得分：5分

题目总分：5+5=10分