评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生两次识别结果均为"-1"，与标准答案完全一致。题目要求计算二阶矩阵A的行列式|A|，已知条件表明A有两个不同的特征值，且存在线性无关的特征向量α₁, α₂满足A²(α₁+α₂) = α₁+α₂。根据特征值性质，若λ是A的特征值，则λ²是A²的特征值。由A²(α₁+α₂) = α₁+α₂可知1是A²的特征值，对应的特征向量为α₁+α₂。由于α₁, α₂对应A的不同特征值λ₁, λ₂，且A²的特征值为λ₁², λ₂²，因此1必须是某个λᵢ²。又因为α₁+α₂不是A的特征向量（否则α₁, α₂线性相关），所以1不能同时是λ₁²和λ₂²，于是{λ₁², λ₂²} = {1, μ}且μ ≠ 1。由特征值性质，|A| = λ₁λ₂，且|A²| = (λ₁λ₂)² = |A|²。同时A²的特征值之积为1×μ = μ，所以|A|² = μ。另外，A²有特征值1对应特征向量α₁+α₂，考虑A²在基{α₁, α₂}下的矩阵为diag(λ₁², λ₂²)，计算A²(α₁+α₂) = (λ₁², λ₂²) = (1,1)在标准基下的表示，可得λ₁² = λ₂² = 1，但这样λ₁ = ±1, λ₂ = ±1，且由于特征值不同，所以{λ₁, λ₂} = {1, -1}，于是|A| = 1×(-1) = -1。学生的答案正确，得4分。

题目总分：4分