评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生正确建立了拉格朗日函数并求解极值，最终得到了与标准答案一致的最小值结果。但在以下方面存在逻辑错误：

• 目标函数定义错误：学生将面积函数写为 \( \pi x^2 + y^2 + \frac{\sqrt{3}}{4}z^2 \)，但根据几何关系，圆面积应为 \( \pi x^2 \)（正确），正方形面积应为 \( y^2 \)（正确），但正三角形面积应为 \( \frac{\sqrt{3}}{4}z^2 \)（正确）。然而在拉格朗日函数中，学生错误地将约束条件 \( 2\pi x + 4y + 3z = 2 \) 直接作为拉格朗日乘数项，这实际上混淆了目标函数与拉格朗日函数的构造。标准答案中目标函数是三个图形的面积之和，而学生将拉格朗日函数直接标记为 \( L \) 并代入求解，这在数学表达上不严谨，但最终计算过程正确。
• 偏导数计算错误：学生对 \( L_x, L_y, L_z \) 的偏导数计算有误。例如 \( L_x \) 应为 \( 2\pi x + 2\pi\lambda \)，但标准答案中对应项的系数不同，因为标准答案的目标函数是经过周长换算后的形式。学生的偏导数虽然自洽于其设定的拉格朗日函数，但与标准方法不一致。
• 未考虑边界情况：标准答案中检查了 \( xyz=0 \) 的边界情况，以确认最小值的存在性，学生完全忽略了这一步，这是一个重要的逻辑遗漏。

尽管存在上述错误，学生通过正确的拉格朗日乘数法思路和代数运算得到了正确的最小值结果，因此扣除部分分数。扣分情况如下：

• 目标函数构造不严谨：-1分
• 偏导数计算与标准方法不一致但自洽：-0.5分
• 未考虑边界情况：-1分

得分：10 - 1 - 0.5 - 1 = 7.5分（按10分制计分，保留一位小数）

题目总分：7.5分