评分及理由

（1）思路与公式应用（满分4分）

学生正确识别了曲面方程 \(x = \sqrt{1 - 3y^2 - 3z^2}\) 及其在 \(y-z\) 平面的投影区域 \(D_{yz} = \{(y,z) \mid 3y^2 + 3z^2 \leq 1\}\)，并尝试使用投影法将曲面积分转化为二重积分。公式 \(\iint_{\Sigma} P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iint_{D_{yz}} [P + Q(-x_y') + R(-x_z')] dy dz\) 的应用基本正确，但后续计算存在严重错误。由于思路正确但执行有误，扣2分，得2分。

（2）偏导数计算与代入（满分3分）

学生正确计算了偏导数 \(x_y' = \frac{-3y}{\sqrt{1 - 3y^2 - 3z^2}}\) 和 \(x_z' = \frac{-3z}{\sqrt{1 - 3y^2 - 3z^2}}\)，但在代入公式时出现逻辑错误：第二项应为 \((y^3 + 2)(-x_y') = (y^3 + 2) \cdot \frac{3y}{\sqrt{1 - 3y^2 - 3z^2}}\)，第三项应为 \(z^3(-x_z') = z^3 \cdot \frac{3z}{\sqrt{1 - 3y^2 - 3z^2}}\)，但学生错误地写成了 \(-3(y^4 + z^4) - 6y\)，且分子部分缺失完整表达式。此步骤存在严重计算错误，扣2分，得1分。

（3）极坐标转换与积分计算（满分3分）

学生正确设置了极坐标变换 \(y = r\cos\theta, z = r\sin\theta\)，积分区域 \(0 \leq r \leq \frac{1}{\sqrt{3}}, 0 \leq \theta \leq 2\pi\)，但积分表达式不完整且错误：被积函数写为 \(\sqrt{1 - 3r^2} + \frac{}{\sqrt{1 - 3r^2}}\)，分子部分缺失，无法进行有效计算。此步骤未完成且存在逻辑错误，扣3分，得0分。

题目总分：2+1+0=3分