评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生答案：$\frac{1}{100}$，标准答案：100。

分析：本题需要计算行列式 $|(A^{-1}+B^{-1})^*|$。首先需要求出矩阵 $B$ 与 $A$ 的关系，通过列变换可得 $B = A \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$，记该矩阵为 $C$，则 $|B| = |A| \cdot |C| = 1 \cdot (1 \cdot (1 \times 2 - 1 \times 1) - 0 + 0) = 1$。因此 $|B| = 1$。

接着，$(A^{-1}+B^{-1})^* = |A^{-1}+B^{-1}| \cdot (A^{-1}+B^{-1})^{-1}$（伴随矩阵性质）。而 $A^{-1}+B^{-1} = A^{-1}(I+AB^{-1})$，且 $AB^{-1} = (A B^{-1})$，实际上 $B = AC$，所以 $B^{-1} = C^{-1} A^{-1}$，于是 $A^{-1}+B^{-1} = A^{-1} + C^{-1} A^{-1} = (I+C^{-1}) A^{-1}$。

因此 $|A^{-1}+B^{-1}| = |I+C^{-1}| \cdot |A^{-1}| = |I+C^{-1}| \cdot \frac{1}{|A|} = |I+C^{-1}|$。

计算 $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$，可求得 $C^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$，于是 $I+C^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$，行列式 $|I+C^{-1}| = 2 \cdot (3 \times 2 - (-1) \times (-1)) - 0 + 0 = 2 \cdot (6 - 1) = 10$。

所以 $|A^{-1}+B^{-1}| ...