评分及理由

（1）一阶偏导数计算（满分2分）

学生正确计算了 \(\frac{\partial z}{\partial x}\) 和 \(\frac{\partial z}{\partial y}\)，与标准答案一致。得2分。

（2）二阶偏导数计算（满分3分）

学生计算了 \(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\) 和 \(\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}\)，但在化简 \(x\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}+2y\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}\) 时出现错误，得到的结果 \(f''(\frac{y}{x})\cdot\frac{y^2}{x^2}+f''(\frac{y}{x})\cdot\frac{y}{x}+f'(\frac{y}{x})\cdot\frac{2y}{x}\) 缺少系数且未正确合并同类项。扣1分，得2分。

（3）微分方程建立与求解（满分4分）

学生正确令 \(u=\frac{y}{x}\)，但建立的微分方程形式错误（未得到标准形式）。在求解过程中，设 \(p=f'(u)\) 但表达式 \(\frac{5+2u+u^2}{2(1+u)^2}\) 无依据，且积分过程混乱（出现多余的 \(\ln(1+u)\) 项）。扣2分，得2分。

（4）初值条件应用（满分3分）

学生正确应用 \(z(x,x)=x\) 得到 \(f(1)=\frac{1}{2}\)，但计算 \(\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(x,x)}\) 时错误得出 \(f'(u)=1\)（应为 \(f'(1)=1\)），且未用于确定积分常数。在最终结果中通过 \(f(1)=\frac{1}{2}\) 正确得到 \(C_2=1\)。扣1分，得2分。

题目总分：2+2+2+2=8分