评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生第一次识别结果中，在求解α₂和α₃时存在多处逻辑错误：

• α₂的求解中出现了±1/√2的系数，这与题目要求的单位特征向量条件不符（题目要求α₁是单位特征向量且各分量非负，但α₂、α₃没有单位化要求）。
• α₂和α₃的具体数值计算错误，没有正确求解线性方程组。
• 最终得到的P矩阵数值错误。

第二次识别结果中：

• 正确求出了α₁ = (1,0,0)ᵀ
• 在求解α₂时，增广矩阵写为(0,1,1;0,0,-1;0,0,0)是错误的，应为(0,-1,1,1;0,0,-1,0;0,0,0,0)
• 虽然α₂、α₃的具体数值计算错误，但最终得到的P矩阵行列式|P| = -1 ≠ 0的判断正确
• 证明了P可逆，这部分正确

由于在核心的α₂、α₃求解上存在严重逻辑错误，但正确求出了α₁并证明了P可逆，给2分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生两次识别结果都正确：

• 正确得到P⁻¹AP = ⎛1 -1 0; 0 1 -1; 0 0 1⎞
• 正确使用A* = |A|A⁻¹ = A⁻¹（因为|A| = 1）
• 正确计算P⁻¹A*P = (P⁻¹AP)⁻¹
• 正确求出逆矩阵为⎛1 1 1; 0 1 1; 0 0 1⎞
• 正确进行矩阵加法得到最终结果⎛2 0 1; 0 2 0; 0 0 2⎞

虽然第(Ⅰ)部分的基础有问题，但第(Ⅱ)部分的推导和计算完全正确，给6分。

题目总分：2+6=8分