评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生通过变量代换 \(x = e^t\) 正确推导出 \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} e^{-t}\) 和 \(\frac{d^2y}{dx^2} = \left(\frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt}\right)e^{-2t}\)，并代入原方程得到 \(y'' - 9y = 0\)。求解特征方程得到通解 \(y = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-3t}\)，回代 \(t = \ln x\) 得到 \(y = C_1 x^3 + C_2 x^{-3}\)。利用初始条件 \(y(1)=2, y'(1)=6\) 正确解得 \(C_1=2, C_2=0\)，最终得到 \(y=2x^3\)。虽然第一次识别中在代入初始条件时出现 "x = ln y" 的笔误（应为 \(x=1\) 时 \(t=0\)），但根据后续计算可判断为识别错误，不影响核心逻辑。计算过程完整正确，得6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确写出积分 \(\int_1^2 2x^3\sqrt{4-x^2}dx\)，并采用代换 \(u=\sqrt{4-x^2}\) 进行计算。第二次识别中积分下限误写为0（应为1），但根据后续代换过程（当 \(x=1\) 时 \(u=\sqrt{3}\)，\(x=2\) 时 \(u=0\)）和计算结果可知是识别错误。代换后积分化为 \(\int_{\sqrt{3}}^0 2(4-u^2)u \cdot (-udu) = \int_0^{\sqrt{3}} 2(4u^2-u^4)du\)，计算过程正确，最终结果 \(\frac{22\sqrt{3}}{5}\) 与标准答案一致。虽然第一次识别中积分表达式存在书写不规范（如 \(u^{\frac{5}{2}}\) 应为 \(u^4\)），但根据上下文可判断为识别错误，核心逻辑正确，得6分。

题目总分：6+6=12分