评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确建立了微分方程：由题意得到切线在y轴截距为 y-xy'，且等于x，得到方程 y-xy' = x，整理得 y' - (1/x)y = -1。然后通过变量代换 u = y/x 正确求解微分方程，得到通解 y = x(C - lnx)。利用初始条件 y(e²) = 0 求出 C = 2，最终得到 y = x(2 - lnx) = -xlnx + 2x。

虽然学生答案中写的是 y = -xlnx + 2x，这与标准答案 y = x(2 - lnx) 是等价的，思路和计算都正确。

得分：5分

（2）得分及理由（满分5分）

学生正确求出导数 y'(x) = -lnx + 1，并建立了切线方程。但在求切线在坐标轴上的截距时存在错误：

当 X = 0 时，切线在 y 轴上的截距应为 Y = y - xy' = x(2 - lnx) - x(1 - lnx) = x，但学生计算 Y = -x(1 - lnx) + 2x - xlnx 这一步有误。

当 Y = 0 时，学生没有计算切线在 x 轴上的截距，而是直接跳过了这一步，导致无法建立面积函数。

由于学生没有正确求出 x 轴截距，也没有建立面积函数 S(x)，更没有进行求导和求极值的完整过程，因此这部分解答不完整。

得分：0分

题目总分：5+0=5分