评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答中，两次识别结果均正确求解了函数的极值问题。具体分析如下：

• 一阶偏导数计算正确：\( f_x' = e^{\cos y} + x \)，\( f_y' = -x \sin y e^{\cos y} \)。
• 驻点求解过程正确：通过令一阶偏导数为零，得到 \( y = k\pi \)（\( k \in \mathbb{Z} \)），并代入 \( f_x' = 0 \) 求得对应 \( x \) 值，即驻点为 \( (-e, 2k\pi) \) 和 \( (-\frac{1}{e}, (2k+1)\pi) \)。
• 二阶偏导数计算正确：\( A = f_{xx}'' = 1 \)，\( B = f_{xy}'' = -\sin y e^{\cos y} \)，\( C = f_{yy}'' = x e^{\cos y} (\sin^2 y - \cos y) \)。
• 极值判别正确：使用 \( AC - B^2 \) 判别法，在驻点 \( (-e, 2k\pi) \) 处，\( AC - B^2 = e^2 > 0 \) 且 \( A > 0 \)，判定为极小值点；在驻点 \( (-\frac{1}{e}, (2k+1)\pi) \) 处，\( AC - B^2 = -\frac{1}{e^2} < 0 \)，判定为非极值点。
• 最终结论正确：函数极小值为 \( f(-e, 2k\pi) = -\frac{e^2}{2} \)。

尽管学生在计算 \( C \) 时表达式与标准答案略有不同，但经化简后等价，且最终判别结果一致。根据打分要求，思路正确且计算无误，不扣分。因此，本题得分为12分。

题目总分：12分