评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生使用三角代换法计算面积：令 \( x = \tan\theta \)，得到 \( S = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \csc\theta \, d\theta = \left. \ln|\csc\theta - \cot\theta| \right|_{\pi/4}^{\pi/2} = -\ln(\sqrt{2}-1) \)。

标准答案使用代换 \( t = 1/x \)，得到 \( S = \ln(1+\sqrt{2}) \)。

注意到 \( -\ln(\sqrt{2}-1) = \ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}-1}\right) = \ln(\sqrt{2}+1) \)，与标准答案一致。

思路正确，计算准确，得满分6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确写出旋转体体积公式 \( V = \pi \int_1^{+\infty} y^2 dx \)，代入 \( y = \frac{1}{x\sqrt{1+x^2}} \) 得到 \( V = \pi \int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^2(1+x^2)} \)。

正确分解为部分分式：\( \frac{1}{x^2(1+x^2)} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{1+x^2} \)。

正确计算积分：\( \pi\left[ -\frac{1}{x} - \arctan x \right]_1^{+\infty} = \pi\left[ 1 - \frac{\pi}{4} \right] \)。

与标准答案完全一致，得满分6分。

题目总分：6+6=12分