评分及理由

（1）极坐标转换部分（满分2分）

学生正确将曲线方程转换为极坐标形式：\(r^2 = \frac{1}{1-\sin\theta\cos\theta}\)，与标准答案一致。得2分。

（2）积分区域确定（满分2分）

正确识别出θ的范围为[0, π/3]，r的范围为\(\sqrt{\frac{1}{1-\sin\theta\cos\theta}}\)到\(\sqrt{\frac{2}{1-\sin\theta\cos\theta}}\)。得2分。

（3）被积函数转换（满分2分）

将\(3x^2+y^2\)转换为极坐标时出现错误：学生写为\(1+2\cos^2\theta\)，但正确应为\(3\cos^2\theta+\sin^2\theta\)。这是关键错误，扣2分。得0分。

（4）r积分计算（满分2分）

对r的积分计算正确：\(\int \frac{dr}{r} = \ln r\)，得到\(\frac{1}{2}\ln 2\)。得2分。

（5）θ积分计算（满分2分）

虽然换元方法正确（令t=tanθ），但由于被积函数错误，后续计算虽然过程正确但基于错误的前提。扣2分。得0分。

（6）最终结果（满分2分）

得到错误结果\(\frac{\sqrt{3}\pi}{6}\ln 2\)，而正确答案应为\(\frac{\sqrt{3}\pi}{24}\ln 2\)。扣2分。得0分。

题目总分：2+2+0+2+0+0=6分