评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答中，第一次识别结果和第二次识别结果都给出了相同的解题过程和最终答案。解题思路是：先通分，然后利用等价无穷小代换简化分母，再两次应用洛必达法则求极限。最终计算得到极限值为1/2，与标准答案一致。

在第二次识别结果中，学生详细写出了每一步的求导过程：

• 第一次洛必达法则后分子为 \( e^{x^2} \sin x + (1 + \int_0^x e^{t^2} dt) \cos x - e^x \)，分母为 \( 2x \)，正确。
• 第二次洛必达法则时，对分子三项分别求导：
  • 第一项 \( (e^{x^2} \sin x)' = 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos x \)（正确）
  • 第二项 \( \left[(1 + \int_0^x e^{t^2} dt) \cos x\right]' = e^{x^2} \cos x - (1 + \int_0^x e^{t^2} dt) \sin x \)（正确）
  • 第三项 \( (e^x)' = e^x \)（正确）
  合并后分子为 \( 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos x + e^{x^2} \cos x - (1 + \int_0^x e^{t^2} dt) \sin x - e^x \)，即 \( 2x e^{x^2} \sin x + 2 e^{x^2} \cos x - (1 + \int_0^x e^{t^2} dt) \sin x - e^x \)，分母为2，正确。
• 代入 \( x \to 0 \) 时：
  • \( 2x e^{x^2} \sin x \to 0 \)
  • \( (1 + \int_0^x e^{t^2} dt) \sin x \to 0 \)（因为 \( \int_0^0 e^{t^2} dt = 0 \)，且 \( \sin x \sim x \)）
  • \( e^{x^2} \to 1 \)，\( \cos x \to 1 \)，\( e^x \to 1 \)
  因此极限为 \( \frac{0 + 2...