评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

第一次识别结果：

• 正确将曲线方程转换为极坐标形式，得到 \( r = \sqrt{\cos 2\theta} \)（学生写作 \( \sqrt{\cos^2\theta - \sin^2\theta} \) 等价于 \( \sqrt{\cos 2\theta} \)）。
• 正确确定积分区域：\( \theta \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}] \)，\( r \in [0, \sqrt{\cos 2\theta}] \)。
• 正确设置二重积分表达式：\( \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{0}^{\sqrt{\cos 2\theta}} r^3 \cos\theta \sin\theta dr \)。
• 积分计算过程中，从 \( r \) 积分得到 \( \frac{1}{4} r^4 \) 正确，代入上限后得到 \( \frac{1}{4} \cos\theta \sin\theta \cos^2 2\theta \)。
• 后续计算中，学生尝试用 \( \sin\theta \) 换元，但步骤混乱，出现 \( \sin^{10}\theta \)、\( \sin^{15}\theta \) 等错误表达式，导致积分计算错误。
• 最终数值结果正确（\( \frac{1}{48} \)），但中间过程有严重逻辑错误。
• 扣分：由于中间积分换元步骤出现严重错误（错误表达式），但最终结果正确，扣4分。
• 得分：8分。

第二次识别结果：

• 错误识别曲线方程为 \( (x+y)^2 = x-y \)，导致整个极坐标转换错误。
• 积分区域设置错误（\( r \leq \sqrt{\cos\theta - \sin\theta} \)）。
• 积分计算过程基于错误方程，但最终数值结果正确（\( \frac{1}{48} \)）。
• 扣分：由于基本方程识别错误，导致整个解题逻辑错误，但结果正确，扣8分。
• 得分：4分。

根据两次识别结果，取较高分：8分。

题目总分：8分