评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答中，第一部分求解 \(f(x)\) 的过程基本正确。首先通过变量代换和求导得到微分方程 \(f'(x) + f(x) = 2a\)，然后正确识别为一阶线性微分方程并应用通解公式。在求解过程中，学生得到 \(y = 2a + Ce^{-x}\)，并利用初始条件 \(f(0) = 0\) 确定常数 \(C = -2a\)，最终得到 \(f(x) = 2a(1 - e^{-x})\)，这与标准答案 \(f(x) = e^{-x}(2a e^{x} - 2a) = 2a(1 - e^{-x})\) 完全一致。虽然学生在第一次识别结果中写为 \(y = 2a + ce^{x}\)，但第二次识别中已修正为 \(y = 2a + Ce^{-x}\)，且最终结果正确，因此不扣分。该部分逻辑完整，计算正确，得满分5分。

（2）得分及理由（满分5分）

第二部分求解 \(a\) 的值，学生正确利用 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上的平均值为1，即 \(\int_0^1 f(x) dx = 1\)，代入 \(f(x) = 2a(1 - e^{-x})\) 进行计算。在第一次识别中，学生写为 \(\int_0^1 2a dx - \int_0^1 2ae^{x} dx\)，但积分对象错误（应为 \(e^{-x}\) 而非 \(e^{x}\)），且计算过程有误；但在第二次识别中，学生修正为 \(\int_0^1 2a dx - \int_0^1 2ae^{-x} dx\)，并正确计算积分：\(\int_0^1 2a dx = 2a\)，\(\int_0^1 2ae^{-x} dx = -2ae^{-x} \big|_0^1 = 2a(1 - e^{-1})\)，最终得到 \(\int_0^1 f(x) dx = 2a - 2a(1 - e^{-1}) = \frac{2a}{e}\)，令其等于1，解得 \(a = \frac{e}{2}\)，与标准答案一致。由于第二次识别结果正确，且核心逻辑无误，该部分得满分5分。

题目总分：5+5=10分