评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

第1次识别中，学生定义 \( F(x) = \frac{\int_a^x f(t)dt}{e^x} \)，即 \( F(x) = e^{-x} \int_a^x f(t)dt \)，与标准答案一致。正确指出 \( F(a) = F(b) = 0 \)，并应用罗尔定理得到 \( F'(\xi) = 0 \)。但在计算导数时，第1次识别写为 \( F'(\xi) = e^{-\xi}[F(\xi) - F'(\xi)] = 0 \)，这显然是错误的（可能是识别错误或笔误），因为 \( F'(\xi) \) 出现在等式两边，逻辑混乱。第2次识别中，导数计算为 \( F'(\xi) = e^{-\xi}[f(\xi) - F(\xi)] = 0 \)，这里 \( F(\xi) \) 应为 \( \int_a^\xi f(t)dt \)，所以 \( f(\xi) - F(\xi) = 0 \) 即 \( f(\xi) = \int_a^\xi f(x)dx \)，这与标准答案等价。考虑到第2次识别正确，且可能为误写，根据“误写不扣分”原则，不扣分。思路完整，结论正确。得分：6分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生定义 \( G(x) = e^x \left[ \int_a^x f(t)dt - f(x) \right] \)，而标准答案为 \( G(x) = e^x \left[ f(x) - \int_a^x f(t)dt \right] \)，两者相差一个负号，但学生后续推导中符号处理一致，不影响结论。第1次识别中，\( G(a) = e^a - e^a f(a) \) 错误（应为 \( G(a) = -e^a f(a) \)），但第2次识别正确为 \( G(a) = -e^a f(a) \)，\( G(b) = -e^b f(b) \)，且由 \( f(a)f(b) > 0 \) 得出 \( G(a)G(b) > 0 \)，正确。学生假设 \( G(a) > 0, G(b) > 0 \)（实际根据定义，若 \( f(a) > 0, f(b) > 0 \)，则 \( G(a) < 0, G(b) < 0 \)，但学生符号反向后假设为正，不影响逻辑），并引用（Ⅰ）中 \( G(\xi) = 0 \)（这里 \( G(\xi) \) 对应学生定义，即 \( e^\xi \left[ \int_a^\xi f(t)dt - f(\xi) \right] = 0 \)，由（Ⅰ）知成立）。学生使用介值定理在区间 \( (a, \xi) \) 和 \( (\xi, b) \) 找到点 \( x_1, x_2 \) 使 \( G(x_1) = G(x_2) = c/2 \)（其中 \( c = \min\{G(a), G(b)\} > 0 \)），但 \( c/2 \) 可能不介于 \( G(a) \) 和 \( G(\xi) = 0 \) 之间（例如若 \( G(a) ...