2021年考研数学（一）考试试题 - 第11题回答

评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为 \(\frac{\pi}{4}\)，与标准答案完全一致。虽然学生没有展示解题过程，但根据填空题的评分规则，只要最终答案正确即可得满分。本题的积分计算需要用到凑微分和反正切函数的积分公式：

\[\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a} + C\]

具体解法为：

\[\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^2+2x+2} dx = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(x+1)^2+1} dx\]

令 \(t = x+1\)，则：

\[\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{t^2+1} dt = \left[\arctan t\right]_{1}^{+\infty} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}\]

学生答案正确，因此得5分。

题目总分：5分

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