评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生答案：3/2，即 \(\frac{3}{2}\)，与标准答案一致。

理由：题目要求计算 \(A_{11}+A_{21}+A_{31}\)，已知矩阵每行元素之和为2，即 \(A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\)，说明 \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) 是 \(A\) 的属于特征值2的特征向量。而 \(A_{11}+A_{21}+A_{31}\) 是 \(A\) 的伴随矩阵 \(A^*\) 的第一列元素之和，即 \(A^*\) 乘以 \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) 再求和，但更直接地，利用代数余子式与伴随矩阵的关系，有 \(A^* = |A| A^{-1} = 3 A^{-1}\)。由 \(A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)，得 \(A^{-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)。而 \(A_{11}+A_{21}+A_{31}\) 是 \(A^*\) 的第一行元素？不对，注意下标：\(A_{11}, A_{21}, A_{31}\) 是伴随矩阵 \(A^*\) 的 \((1,1), (2,1), (3,1)\) 元素，即 \(A^*\) 的第一列。所以 \(A_{11}+A_{21}+A_{31} = (A^* \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix})_1\)（第一个分量）。计算 \(A^* \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 3 A^{-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 3 \c...