评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

第1次识别结果：正确识别出最大值区域为圆盘 \(x^2 + y^2 \leq 4\)，并正确计算二重积分得到 \(8\pi\)。计算过程完整，结果正确。得6分。

第2次识别结果：同样正确识别区域并计算积分，过程完整，结果正确。得6分。

综合两次识别，该部分作答正确，得6分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

第1次识别结果：存在多处逻辑错误：
1. 在计算偏导数时，指数部分误写为 \(x^4 + 4y^2\)（应为 \(x^2 + 4y^2\)），导致后续推导错误。
2. 在计算 \(\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x}\) 时，虽然声称结果为0，但基于错误的指数表达式，实际计算不可信。
3. 在应用格林公式时，表达式 \(\frac{2}{\varepsilon^2} \iint_{D_2} -2 \,d\sigma\) 逻辑混乱，符号和系数均有错误。
4. 最终结果 \(\pi\) 与正确答案 \(-\pi\) 符号相反。
由于存在多处实质性错误，扣4分，得2分。

第2次识别结果：
1. 正确识别了指数部分为 \(x^2 + 4y^2\)。
2. 正确计算了 \(\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x} = 0\)，并得出路径无关的结论。
3. 正确构造了小椭圆曲线 \(x^2 + 4y^2 = \xi^2\) 并利用路径无关性将积分转化为沿该椭圆的积分。
4. 在应用格林公式计算沿椭圆的积分时，表达式 \(-\iint_{D_2} \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\) 应为 \(\iint_{D_2} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)\)，且后续计算 \(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\) 时，学生写为 \(-2\)，但根据标准答案，正确值应为 \...