评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确分段定义了函数 \( f(x) \)，并计算了分段表达式。在 \( x \geq 1 \) 时正确得到 \( f(x) = x^2 - \frac{1}{3} \)，在 \( 0 < x < 1 \) 时正确得到 \( f(x) = \frac{4}{3}x^3 - x^2 + \frac{1}{3} \)。虽然分段点的写法与标准答案略有不同（标准答案用 \( 0 < x \leq 1 \) 和 \( x > 1 \)，学生用 \( x \geq 1 \) 和 \( 0 < x < 1 \)），但这是等价的，不影响结果。因此，本部分得5分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生正确求出了导数 \( f'(x) \) 的分段表达式，并验证了在 \( x=1 \) 处的连续性和可导性。在求最小值时，正确令 \( f'(x)=0 \) 得到驻点 \( x=\frac{1}{2} \)，并通过二阶导数检验（\( f''(\frac{1}{2}) = 4 > 0 \)）判定为极小值点，计算出最小值 \( f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \)。虽然学生在第一次识别结果中写错了导数表达式（写成了 \( f(x) \) 而不是 \( f'(x) \)），但第二次识别结果正确，且上下文显示是笔误，根据禁止扣分规则不扣分。因此，本部分得5分。

题目总分：5+5=10分