评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答中存在多处逻辑错误：

• 在第一次识别中，学生错误地设定了 \(y_2(x) = e^x v(x)\)，但题目中给出的形式是 \(y_2(x) = \mu(x) e^x\)，这导致后续推导混乱。学生错误地计算了 \(y_2''(x)\)，并错误地代入方程，得到错误的化简方程 \((2x - 1)v''(x) + (12x - 3)v'(x) = 0\)，与标准答案不符。
• 在第二次识别中，学生同样错误地设定了 \(y_2(x) = e^x v(x)\)，并错误地代入方程 \((2x - 1)y'' - (6x + 1)y' + 2(2x + 1)y = 0\)，但原方程为 \((2x - 1)y'' - (2x + 1)y' + 2y = 0\)，这导致整个推导过程基于错误方程。
• 学生在求解 \(v(x)\) 时，积分计算错误，例如在第一次识别中，\(v(x) = \int (2x - 1)e^{-x}dx\) 的结果不正确，且后续代入条件时，错误地使用了 \(v(-1)=e\) 和 \(v(0)=-1\)，但题目条件为 \(\mu(-1)=e\) 和 \(\mu(0)=-1\)，导致常数求解错误。
• 最终通解形式错误，学生给出 \(y = C_1 e^x + C_2(1 + 2x)\)，但标准答案为 \(y = k_1 e^x + k_2(-2x - 1)e^{-x}\)，两者不一致。

尽管学生尝试使用变量替换和积分求解，但核心逻辑错误严重，导致结果不正确。根据打分要求，逻辑错误需扣分，且思路与标准答案不一致且不正确，因此扣分较多。但考虑到学生部分步骤（如令 \(P = v'(x)\) 并积分）思路正确，给予部分分数。

得分：3分（满分10分）

题目总分：3分