评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分4分）

学生首先利用迹相等得到 a = a² - 2，解得 a = 2 或 -1，然后利用行列式相等（|A|=|B|=0）排除 a=2，得到 a=-1。思路正确，计算无误。但标准答案中还通过验证 a=1 时迹不相等来排除，学生未做此验证，但结论正确且方法合理，不扣分。得4分。

（Ⅱ）得分及理由（满分4分）

学生正确求出 A 和 B 的特征值（0,1,-2）及对应的特征向量，并进行单位化得到正交基。构造 Q₁ 和 Q₂ 使得 Q₁ᵀAQ₁ = Λ 和 Q₂ᵀBQ₂ = Λ，然后通过 Q = Q₁Q₂ᵀ 得到正交矩阵 Q。思路正确，但最终计算的 Q 矩阵与标准答案不同（学生结果为 [[0,1,0],[0,0,1],[1,0,0]]，标准答案为 [[1,0,0],[0,0,1],[0,1,0]]）。由于 Q 不唯一，只要满足 QᵀAQ = B 即可，但学生未验证其 Q 是否满足条件，且计算过程可能存在误差，但整体思路正确，扣1分。得3分。

（Ⅲ）得分及理由（满分4分）

学生由（Ⅱ）中 Qᵀ = Q（实际上 Q 是正交矩阵，但 Qᵀ 不一定等于 Q，这里学生误认为 Q 是对称矩阵），推导出 P = AQ，并计算了 P。但标准答案中通过 AB = P² 直接构造 P = AQ，并验证了 (Qᵀ)² = E，从而 AB = P²。学生的思路基本正确，但未完整验证 P² = AB，且计算的 P 矩阵与标准答案不同（学生结果为 [[1,0,0],[0,0,1],[-1,1,0]]，标准答案为 [[-1,1,0],[0,0,1],[1,-1,0]]）。由于 P 不唯一，只要满足 AB = P² 即可，但学生未验证，且推导中有误认为 Qᵀ = Q 的瑕疵，扣2分。得2分。

题目总分：4+3+2=9分