评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 \( e \)，而标准答案是 \( \sqrt{e} \)。

该极限的计算过程如下：

\[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{1 + e^x}{2} \right)^{\cot x} \]

首先取自然对数：

\[ \ln L = \lim_{x \to 0} \cot x \cdot \ln \left( \frac{1 + e^x}{2} \right) \]

由于当 \( x \to 0 \) 时，\( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \sim \frac{1}{x} \)，且 \( \ln \left( \frac{1 + e^x}{2} \right) \sim \ln \left( \frac{1 + (1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots)}{2} \right) = \ln \left( 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \cdots \right) \sim \frac{x}{2} \)。

因此，

\[ \ln L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \]

所以 \( L = e^{1/2} = \sqrt{e} \)。

学生答案 \( e \) 对应于指数为 1 的情况，但实际计算得到指数为 \( \frac{1}{2} \)，因此学生的答案存在计算错误。

根据评分规则，答案错误得 0 分。

题目总分：0分