评分及理由

（1）微分方程求解部分得分及理由（满分4分）

学生正确将原方程整理为一阶线性微分方程形式，并正确使用积分因子法求解。虽然积分过程写法与标准答案略有不同，但最终得到正确通解形式 $y=Cx^2-\frac{\ln x}{2}$，并正确利用初值条件确定常数 $C=\frac{1}{4}$。此部分完全正确，得4分。

（2）导数计算部分得分及理由（满分2分）

学生正确计算出 $y'=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2x}$，与标准答案一致。此部分完全正确，得2分。

（3）弧长计算部分得分及理由（满分6分）

学生正确写出弧长公式 $S=\int_{1}^{e}\sqrt{1+y'^2}dx$，并正确化简被积函数：

$\sqrt{1+(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2x})^2}=\sqrt{\frac{1}{4}(x+\frac{1}{x})^2}=\frac{1}{2}(x+\frac{1}{x})$

正确计算定积分 $\frac{1}{2}\int_{1}^{e}(x+\frac{1}{x})dx$，并得到最终正确结果 $\frac{e^2+1}{4}$。此部分完全正确，得6分。

题目总分：4+2+6=12分