评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生正确建立了体积与液面高度的关系：\( V(h) = \pi \int_0^h (y + \sin y)^2 dy \)，并利用 \( V(t) = \pi t \) 得到 \( \pi t = \pi \int_0^h (y + \sin y)^2 dy \)。在求导过程中，学生写出了隐函数求导形式 \( h'(t)(h + \sin h)^2 - 1 = 0 \)，这等价于标准答案中的 \( \frac{dV}{dt} = \pi (y + \sin y)^2 \cdot \frac{dy}{dt} = \pi \)。虽然表达方式略有不同，但思路正确。代入 \( h = \frac{\pi}{4} \) 后得到 \( h' = \frac{1}{(\frac{\pi}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2})^2} \)，与标准答案一致。因此本小题得满分6分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生正确写出注满时 \( h = \frac{\pi}{2} \)，时间 \( t = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (y + \sin y)^2 dy \)。展开被积函数为 \( y^2 + 2y\sin y + \sin^2 y \) 正确。计算过程中：

• \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} y^2 dy = \frac{\pi^3}{24} \) 正确
• \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 y dy = \frac{\pi}{4} \) 正确
• 计算 \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} y\sin y dy \) 时使用了分部积分法，过程正确，最终得到 \( 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} y\sin y dy = 2 \)

最终结果 \( t = \frac{\pi^3}{24} + \frac{\pi}{4} + 2 \) 与标准答案完全一致。因此本小题得满分6分。

题目总分：6+6=12分