评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分4分）

学生正确利用相似矩阵行列式相等得到|A|=0，解得a=±1，并验证a=1时特征值不匹配，最终确定a=-1。思路正确，计算无误。但第一次识别结果中特征值计算有误（λ₁=-2,λ₂=0,λ₃=1写成了λ₁=2），第二次识别结果已修正。根据识别规则，以正确版本为准，不扣分。得4分。

（Ⅱ）得分及理由（满分4分）

学生正确求出A的特征值和正交特征向量，构造正交矩阵Q₁使Q₁ᵀAQ₁=Λ。但在求Q₂时，第一次识别结果中Q₂形式明显错误（非正交矩阵），第二次识别结果中Q₂仍不正确（列向量不满足正交性）。虽然最终Q=Q₁Q₂ᵀ计算正确，但Q₂的构造过程存在逻辑错误。扣2分。得2分。

（Ⅲ）得分及理由（满分4分）

学生正确利用B=QᵀAQ，推导出AB=(AQ)²，并计算出P=AQ。思路正确，计算无误。得4分。

题目总分：4+2+4=10分