评分及理由

（1）求函数表达式得分及理由（满分6分）

学生正确写出偏导数：\( f_x' = -2xe^{-y} \)，\( f_y' = e^{-y}(x^2-y-1) \)。通过积分得到 \( f(x,y) = -x^2e^{-y} + g(y) \)，并利用 \( f_y' \) 求出 \( g'(y) = -e^{-y}(y+1) \)，积分得 \( g(y) = e^{-y}(y+2) + C_1 \)。利用初始条件 \( f(0,0)=2 \) 求出 \( C_1=0 \)，最终得到 \( f(x,y) = e^{-y}(-x^2+y+2) \)。整个过程与标准答案一致，计算正确。得6分。

（2）求极值得分及理由（满分6分）

学生正确求出驻点：令偏导数为零得到 \( x=0, y=-1 \)。计算二阶偏导数：\( f_{xx}'' = -2e^{-y} \)，\( f_{xy}'' = 2xe^{-y} \)，但学生写的 \( f_{yy}'' = ye^{-y} \) 有误，应为 \( f_{yy}'' = e^{-y}(x^2-y) \)（标准答案中为 \( e^{-y}(x^2-y) \)）。在点 \( (0,-1) \) 处，学生计算 \( A = -2e \)，\( B = 0 \)，\( C = -e \)，然后计算 \( \Delta = AC - B^2 = 2e^2 > 0 \)，且 \( A < 0 \)，判断为极大值，并计算 \( f(0,-1) = e \)。虽然 \( f_{yy}'' \) 表达式有误，但在驻点处计算出的 \( C \) 值正确（因为 \( x=0, y=-1 \) 时，\( f_{yy}'' = e^{-y}(x^2-y) = e^{1}(0+1) = e \)，但学生写为 \( -e \)，这是计算错误；然而标准答案中在 \( (0,-1) \) 处 \( C = -e \)，学生此处与标准答案一致，可能是误写，但结果正确）。最终极值判断和计算正确。由于 \( f_{yy}'' \) 表达式错误，但驻点处数值计算正确，且不影响最终结论，扣1分。得5分。

题目总分：6+5=11分