评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确得出a=4和k>0。理由：

• 学生通过秩相等得到r(A)=2，并利用初等变换得到a=4，方法正确，结果正确。
• 学生计算了特征多项式，得到特征值0,3,6，正确。
• 通过正负惯性指数相同得出k>0，正确。
• 但学生没有明确指出k的具体范围（应该是k>0且k≠6，因为B的特征值有0,6,k，而A的特征值是0,3,6，合同要求正惯性指数相同，所以k必须为正，但学生只写了k>0，没有排除k=6的情况，不过标准答案也只要求k>0）。
• 扣1分，因为学生没有通过行列式为零的方法求a，而是用初等变换，虽然正确但不是最直接的方法，且没有强调合同要求特征值符号相同。
• 得分：5分

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确得出k=3和正交矩阵Q。理由：

• 学生正确指出A与B相似，因此特征值相同，得到k=3。
• 学生正确计算了三个特征值对应的特征向量。
• 学生进行了单位化，得到正交矩阵Q。
• Q的列向量顺序与标准答案一致（r2对应λ=3，r3对应λ=6，r1对应λ=0）。
• 但学生在单位化时，对α1的单位化结果写为(1/√6, -2/√6, 1/√6)^T，而标准答案是(1/√6, -2/√6, 1/√6)^T，实际上是一样的，只是表示形式不同。
• 没有明显错误，得满分。
• 得分：6分

题目总分：5+6=11分