2023年考研数学（二）考试试题 - 第16题回答

评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是“0”。首先，我们需要分析题目。题目给出了一个行列式的值：

\[ \left|\begin{array}{lll}a & 0 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a\end{array}\right| = 4 \]

要求计算另一个行列式：

\[ \left|\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \\ a & b & 0\end{array}\right| \]

观察两个行列式，它们之间存在行交换和列交换的关系。具体来说，第一个行列式经过两次行交换（第一行与第三行交换，然后第二行与新的第一行交换）可以得到第二个行列式的部分结构，但第二个行列式的第三行是 \((a, b, 0)\)，而第一个行列式的第三行是 \((1, 2, a)\)，因此需要进一步分析。

实际上，第二个行列式可以通过对第一个行列式进行行交换和列操作得到。设第一个行列式为 \(D_1\)，第二个为 \(D_2\)。计算 \(D_1\)：

\[ D_1 = a \cdot \left|\begin{array}{ll}a & 1 \\ 2 & a\end{array}\right| - 0 \cdot \left|\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & a\end{array}\right| + 1 \cdot \left|\begin{array}{ll}1 & a \\ 1 & 2\end{array}\right| = a(a^2 - 2) + 1(2 - a) = a^3 - 2a + 2 - a = a^3 - 3a + 2 \]

已知 \(D_1 = 4\)，所以：

\[ a^3 - 3a + 2 = 4 \implies a^3 - 3a - 2 = 0 \]

解得 \(a = 2\)（验证：\(8 - 6 - 2 = 0\)）。

现在计算 \(D_2\)：

\[ D_2 = \left|\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \\ a & b & 0\end{array}\right| \]

代入 \(a = 2\)：

\[ D_2 = \left|\begin{array}{lll}1 & 2...

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