评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

第1次识别：学生正确建立微分方程 \(y' - \frac{1}{x}y = -1\)，并正确求解得到通解 \(y = x(C - \ln x)\)，利用初始条件 \((e^2, 0)\) 确定常数 \(C=2\)，最终得到正确结果 \(y(x) = x(2 - \ln x)\)。过程完整且正确，但存在一处笔误：在建立方程时写“P到切线的距离为 \(x_0\)”应为“P到y轴的距离为 \(x_0\)”，不过根据后续方程可知是理解正确的，不扣分。得5分。

第2次识别：同样正确建立微分方程并求解，过程清晰，最终结果正确。得5分。

综合两次识别，第(1)问得5分。

（2）得分及理由（满分5分）

第1次识别：学生正确写出切线方程，并求出在坐标轴上的截距：X轴截距计算错误（应为 \(\frac{x}{\ln x - 1}\)，但学生得到复杂表达式），Y轴截距正确为 \(x\)。面积表达式 \(S = \frac{1}{2}XY\) 后续推导出现错误，导致面积函数复杂化。求导后得到 \(F'(x) = x\frac{\ln^2 x - 3}{(1 - \ln x)^2}\)，正确找到驻点 \(x = e^{3/2}\)，但最后计算最小面积时错误写成 \(e^3\)（实际应为 \(e^3\)，但学生写 \(e^3\) 可能为笔误，不过前面面积表达式错误导致最小值计算不可信）。由于面积表达式推导错误，本题最多给2分。

第2次识别：正确写出切线方程，正确求出Y轴截距为 \(x\)，但X轴截距计算错误（应为 \(\frac{x}{\ln x - 1}\)，但学生得到复杂表达式）。面积表达式 \(S = \frac{1}{2}x^2 - \frac{x^2(2 - \ln x)}{1 - \ln x}\) 错误。求导后得到 \(F'(x) = x\frac{\ln^2 x - 3}{(1 - \ln x)^2}\)，正确找到驻点 \(x = e^{3/2}\)，但最小面积计算为 \(3e^3\)，错误。由于面积表达式错误，本题最多给2分。

综合两次识别，第(2)问得2分。

题目总分：5+2=7分