评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

第1次识别中，学生将积分写为 \(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x\sqrt{1 + 4x^{2}}}dx\)，被积函数分母中多了一个4，与题目给出的 \(D\) 的面积表达式 \(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x\sqrt{1+x^{2}}}dx\) 不符，属于逻辑错误，导致后续换元计算全部错误，最终结果 \(\ln\sqrt{2}+1\) 不正确。第2次识别中，学生正确写出积分表达式 \(S_0=\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x\sqrt{1 + x^{2}}}dx\)，并采用换元法 \(\sqrt{1+x^2}=t\) 进行计算，步骤合理，但在计算定积分值时，得到 \(\frac{1}{2}\ln\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}=\ln(\sqrt{2}-1)\)，这里化简错误，因为 \(\frac{1}{2}\ln\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \ln\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}} = \ln(\sqrt{2}-1) - \frac{1}{2}\ln(1)\)? 实际上，标准结果是 \(\ln(1+\sqrt{2})\)，学生得到 \(\ln(\sqrt{2}-1)\)，该值小于0，而面积应为正，显然错误。因此，虽然思路正确，但计算过程存在错误，且最终结果错误。考虑到面积计算部分满分6分，思路正确但计算错误，扣3分，得3分。

（2）得分及理由（满分6分）

第1次识别中，学生正确写出体积积分表达式 \(V=\pi\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}(1+x^{2})}dx\)，并进行部分分式分解和积分计算，但在积分上下限处理时出现混淆，如 \(\int_{0}^{1}\frac{\pi}{x^{2}}dt\) 应为 \(\int_{1}^{0}\pi t^{2} \cdot (-dt)\)? 实际上学生意图是换元 \(t=1/x\)，但书写混乱。不过最终结果 \(\pi(1-\frac{\pi}{4})\) 正确。第2次识别中，学生直接进行部分分式分解并积分，步骤清晰，结果正确。因此，体积部分思路正确、计算正...