评分及理由

（1）区域转换部分（满分2分）

学生正确将曲线转换为极坐标形式：\(r_1 = \sqrt{\frac{1}{1-\cos\theta\sin\theta}}\)，\(r_2 = \sqrt{\frac{2}{1-\cos\theta\sin\theta}}\)，并正确确定了积分区域 \(D\) 的极坐标范围 \(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}\)，\(\sqrt{\frac{1}{1-\cos\theta\sin\theta}} \leq r \leq \sqrt{\frac{2}{1-\cos\theta\sin\theta}}\)。此部分完全正确，得2分。

（2）积分转换部分（满分4分）

学生正确将二重积分转换为极坐标形式：\(\iint_D \frac{1}{3x^2+y^2}dxdy = \int_0^{\frac{\pi}{3}} d\theta \int_{r_1}^{r_2} \frac{1}{3r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta} \cdot r dr\)。但在化简被积函数时出现错误：

• 正确应为 \(\frac{1}{3r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta} = \frac{1}{r^2(3\cos^2\theta + \sin^2\theta)}\)
• 学生写成了 \(\frac{1}{2r^2\cos^2\theta + r^2}\)，这显然是错误的

由于这个核心的逻辑错误，导致后续计算都建立在错误的基础上。扣除3分，得1分。

（3）积分计算部分（满分6分）

由于第(2)部分的错误，学生的整个积分计算过程都是错误的：

• 对r积分时错误地得到了 \(\frac{1}{2\cos^2\theta + 1}[\ln r]\)
• 后续的三角函数变换和积分计算都是在错误表达式基础上进行的
• 虽然最终答案与标准答案相同，但这是巧合，计算过程存在根本性错误

扣除5分，得1分。

题目总分：2+1+1=4分