评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答的整体思路正确：

• 正确写出旋转体体积公式 \( V(t) = \pi \int_t^{2t} x e^{-2x} \, dx \)。
• 正确使用分部积分法计算积分，得到 \( V(t) \) 的表达式。
• 正确对 \( V(t) \) 求导，并令导数为零找到临界点 \( t = \ln 2 \)。
• 正确分析单调性，判断 \( t = \ln 2 \) 处取得最大值。

但存在以下错误：

• 在计算 \( V(\ln 2) \) 时，最终结果 \( \pi \frac{\ln 2 + \frac{3}{4}}{16} \) 与标准答案 \( \left( \frac{\ln 2}{16} + \frac{3}{64} \right) \pi \) 不一致，说明在代入上下限计算具体数值时出现计算错误。
• 具体地，学生将 \( \frac{3}{4} \) 直接除以 16 得到 \( \frac{3}{64} \)，但标准答案为 \( \frac{3}{64} \)，这里学生的表达式 \( \frac{\ln 2 + \frac{3}{4}}{16} = \frac{\ln 2}{16} + \frac{3}{64} \)，实际上数值正确，但书写形式不规范，可能引起误解，但根据“误写不扣分”原则，不扣分。
• 然而，在求导过程中，学生的 \( V'(t) \) 化简为 \( \pi \frac{4t - t e^{2t}}{e^{4t}} \)，而标准答案为 \( \pi t e^{-2t} (4 e^{-2t} - 1) \)，两者等价，不扣分。

主要扣分点在于最终最大值计算结果的形式与标准答案不一致，但数值等价，且由于是识别结果，可能存在书写不规范，根据“误写不扣分”原则，不扣分。因此，本题给予满分。

得分：12分

题目总分：12分