评分及理由

（1）旋转体体积公式（满分2分）

学生正确写出旋转体体积公式 \( V(t) = \pi \int_{t}^{2t} (\sqrt{x} e^{-x})^2 dx = \pi \int_{t}^{2t} x e^{-2x} dx \)，与标准答案一致。得2分。

（2）积分计算（满分4分）

学生计算积分 \( \pi \int_{t}^{2t} x e^{-2x} dx \) 时，使用分部积分法得到原函数 \( \pi \cdot \left(-\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\right) e^{-2x} \)，但该原函数求导后不等于被积函数 \( x e^{-2x} \)，正确原函数应为 \( \pi \cdot \left(-\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\right) e^{-2x} \) 的推导有误，实际上正确原函数为 \( \pi \cdot \left(-\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\right) e^{-2x} \) 需验证，标准答案为直接给出最终数值结果。学生未正确计算出积分表达式，存在逻辑错误。扣2分，得2分。

（3）求导与极值分析（满分6分）

学生试图对 \( V(t) \) 求导以找最大值，但求导过程复杂且结果 \( V'(t) = (4e^{-4t} - t e^{-2t}) \cdot \pi \) 与标准答案 \( \pi t e^{-2t}(4e^{-2t} - 1) \) 不一致，存在逻辑错误。学生令 \( e^{-2t} = t/4 \) 求解临界点，但未解出 \( t = \ln 2 \)，也未分析单调性。此外，学生错误陈述 \( V(t) \to 0 \) 时取最大值（应为 \( V'(t) = 0 \)），并误写边界条件（如 \( V(t) > 0 \) 与 \( V(t) = 0 \) 矛盾）。基于多重逻辑错误，扣4分，得2分。

题目总分：2+2+2=6分