评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确使用了反证法：假设P不可逆，则α与Aα线性相关，即存在λ使Aα=λα，这与α不是A的特征向量矛盾，因此P可逆。思路完整且正确。

扣分项：无

得分：5分

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确完成以下步骤：

• 由A²α+Aα=6α得到关系式
• 计算AP = (Aα, A²α) = (Aα, 6α-Aα)
• 正确表示为AP = PB，其中B=\(\begin{pmatrix}0&6\\1&-1\end{pmatrix}\)
• 得到P⁻¹AP = B
• 计算B的特征多项式λ²+λ-6=(λ+3)(λ-2)
• 求出两个不同的特征值-3和2
• 判断B可对角化，从而A也可对角化

扣分项：在特征值计算部分，第一次识别中特征多项式写法有误（|λE-B|的展开式写错），但第二次识别正确。根据规则，只要一次识别正确就不扣分。

得分：6分

题目总分：5+6=11分