评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 -1/2，而标准答案是 0。首先需要分析题目：

题目给出 \( f(x) = \lim\limits_{t \to x} \left( \frac{\cos t}{\cos x} \right)^{\frac{1}{t - x}} \)。

这个极限形式是 \(1^\infty\) 型不定式，可以取对数后处理：

设 \( y = \left( \frac{\cos t}{\cos x} \right)^{\frac{1}{t - x}} \)，则

\[ \ln y = \frac{\ln(\cos t) - \ln(\cos x)}{t - x} \]

当 \( t \to x \) 时，上式是导数定义形式，因此

\[ \ln f(x) = \frac{d}{dx} \ln(\cos x) = -\tan x \]

所以 \( f(x) = e^{-\tan x} \)。

于是 \( f'(x) = - \sec^2 x \cdot e^{-\tan x} \)，因此 \( f'(0) = -1 \cdot e^{0} = -1 \)。

等等，这里发现我前面推导有误：

\[ \ln f(x) = \lim_{t \to x} \frac{\ln(\cos t) - \ln(\cos x)}{t - x} = \frac{d}{dx} [\ln(\cos x)] = -\tan x \]

所以 \( f(x) = e^{-\tan x} \)，那么 \( f'(x) = -\sec^2 x \cdot e^{-\tan x} \)，\( f'(0) = -1 \cdot 1 = -1 \)。

但标准答案是 0，这说明我的计算有问题。让我重新检查：

实际上，当 \( x = 0 \) 时，\( f(0) = \lim_{t \to 0} \left( \frac{\cos t}{1} \right)^{\frac{1}{t}} = \lim_{t \to 0} (\cos t)^{1/t} \)。

这个极限是 \( 1^\infty \) 型，取对数：

\[ \ln f(0) = \lim_{t \to 0} \frac{\ln(\cos t)}{t} = \lim_{t \to 0} \fr...