2026年李永乐冲刺6套卷（四） - 第18题回答
由题，设圆柱的高为x,圆柱半径为y，圆锥的高为z。
题目可化为f(x,y,z)=2Πy√(y^2+z^2)+2Πyx在
2/3*Π(y^2)z+Π(y^2)x=A条件下的极小值时的x:y:z
由拉格朗日余数法
令F(x,y,z,λ)=y√(y^2+z^2)+yx+λ(2/3(y^2)z+(y^2)x-A)
令F`x(x,y,z,λ)=0
F`y(x,y,z,λ)=0
F`z(x,y,z,λ)=0
F`λ(x,y,z,λ)=0
解得x:y:z=2:√5：2
评分及理由
（1）得分及理由（满分12分）
学生正确建立了目标函数（表面积）和约束条件（体积为定值），并应用了拉格朗日乘数法求解极值问题。思路与标准答案一致，最终结果正确。
但存在以下问题：
- 符号使用不规范：用x、y、z表示圆柱高、半径、圆锥高，虽不影响计算，但不符合常规习惯（通常用H、R、h）。
- 表达式书写不规范：如"2Πy√(y^2+z^2)"应写为"2πy√(y²+z²)"，约束条件中的A未明确表示（应为V₀/π）。
- 求解过程过于简略：仅列出方程组而未展示具体求解步骤。
考虑到核心思路正确且结果准确，扣2分。得分：10分
题目总分：10分
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