评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

第一问证明方程f(x)=0在(0,1)内至少存在一个实根。

学生作答分析：

• 正确使用了极限保号性，从lim_x→0+f(x)/x<0推出存在δ∈(0,1)使f(δ)<0
• 正确利用f(1)>0和f(δ)<0，得到f(1)·f(δ)<0
• 正确应用零点定理得出存在η∈(δ,1)⊂(0,1)使f(η)=0
• 证明逻辑完整，思路清晰

虽然表述上有些重复（如两次提到∃δ∈(0,δ)），但核心证明步骤正确，不影响得分。

得分：5分

（2）得分及理由（满分5分）

第二问证明方程f(x)f″(x)+[f'(x)]²=0在(0,1)内至少存在两个不同实根。

学生作答分析：

• 第2次识别显示"12.（此处仅为题号，后续内容被涂抹无法识别完整有效作答）"
• 从识别结果看，学生没有提供第二问的有效证明
• 缺少构造辅助函数F(x)=f(x)f'(x)的关键步骤
• 缺少对F'(x)与原方程关系的分析
• 缺少利用罗尔定理证明存在两个不同零点的论证

由于第二问基本没有作答，无法获得分数。

得分：0分

题目总分：5+0=5分