评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答给出了微分方程 \(y^{\prime \prime \prime} - y = 0\) 的通解形式，但该形式与标准答案 \(y = c_1 e^x + c_2 x e^x + c_3 x^2 e^x\) 不一致。标准答案对应特征方程 \((r-1)^3 = 0\) 的三重根 \(r=1\)，而学生作答形式对应特征方程有一个实根 \(r=1\) 和一对共轭复根 \(r = -\frac12 \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}\)，这是方程 \(y''' - y = 0\) 的另一种正确解法，因为特征方程为 \(r^3 - 1 = 0\)，即 \((r-1)(r^2 + r + 1) = 0\)，根为 \(r=1\) 和 \(r = -\frac12 \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}\)，因此学生给出的通解 \(y = C_1 e^x + e^{-\frac12 x}\left(C_2 \cos\frac{\sqrt{3}}{2}x + C_3 \sin\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)\) 是正确的。

根据评分要求第3条“思路正确不扣分：对于思路与标准答案不一致但是正确的不扣分”，学生答案正确，应得满分。

得分：5分

题目总分：5分