评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答分为两次识别结果，但两次内容基本一致，都是正确的解题过程。

第一次识别结果：

• 正确将曲线方程转换为极坐标形式：\(r^2 = \cos 2\theta\)，并得到\(r = \sqrt{\cos 2\theta}\)
• 正确确定积分限：\(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}\)，\(0 \leq r \leq \sqrt{\cos 2\theta}\)
• 正确设置二重积分：\(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}d\theta\int_{0}^{\sqrt{\cos 2\theta}}r^3\sin\theta\cos\theta dr\)
• 计算过程正确，最终得到答案\(\frac{1}{48}\)

第二次识别结果：

• 提供了更详细的解题步骤说明
• 极坐标转换、积分限确定、积分计算均正确
• 换元积分过程清晰，最终答案正确

虽然两次识别结果在表述细节上略有不同，但核心解题思路和计算过程完全正确，与标准答案一致。根据评分要求，思路正确不扣分，计算正确不扣分，因此给予满分。

题目总分：12分