评分及理由

（1）求a,b的值（满分6分）

得分：4分

理由：学生正确识别了矩阵A仅有两个不同特征值的情况，并分b=1和b=3两种情况讨论。在b=3时正确得出a=-1，在b=1时正确得出a=1。但在特征多项式计算中，学生写成了(λ-3)(λ-1)(λ+b)，而正确答案应为(λ-b)(λ-1)(λ-3)，这是一个逻辑错误，扣2分。

（2）求可逆矩阵P（满分6分）

得分：3分

理由：学生正确求出了特征向量，但在构造矩阵P时存在以下问题：

• 在b=3情况下，P矩阵第三列重复（识别为(0,1,1)和(0,0,1)），且最终对角矩阵表示不完整
• 在b=1情况下，P矩阵第二列与第三列线性相关，且对角矩阵表示不完整
• 这些逻辑错误导致P矩阵不可逆或对角化结果不正确，扣3分

题目总分：4+3=7分