评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生使用换元法，令 \( t = \sqrt{e^x - 1} \)，然后进行分部积分，思路正确。但在分部积分后的计算中，存在逻辑错误：

• 正确步骤应为：\( \int 2t(1+t^2) \arctan t \, dt = \frac{1}{2} \int \arctan t \, d[(t^2+1)^2] \)，这一步正确。
• 分部积分后得到：\( \frac{1}{2} \arctan t \cdot (t^2+1)^2 - \frac{1}{2} \int (t^2+1)^2 \, d(\arctan t) \)。
• 但学生错误地计算了 \( d(\arctan t) = \frac{1}{1+t^2} dt \)，因此积分部分应为 \( \int \frac{(t^2+1)^2}{1+t^2} dt = \int (t^2+1) dt \)，学生写成了 \( \int (t^2+1) dt \)，但前面系数和表达式有误。
• 实际上，正确积分应为 \( \frac{1}{2} \int \frac{(t^2+1)^2}{1+t^2} dt = \frac{1}{2} \int (t^2+1) dt = \frac{1}{2} \left( \frac{t^3}{3} + t \right) \)。
• 学生计算为 \( -\frac{1}{2} \int (t^2+1) dt = -\frac{t^3}{6} - \frac{t}{2} \)，这里系数和符号错误，导致最终结果错误。

由于思路正确，但计算过程中出现逻辑错误，扣3分。得分：7分。

题目总分：7分